September 13, 2014

Cours : Radial basis functions

Un message d'Albert Cohen annonce un mini-cours : "Interpolation et Quasi-Interpolation utilisant les fonctions radiales comme méthode d'approximation de plusieurs variables"
Le professeur Martin Buhmann (Université de Justus-Liebig, Giessen), de l’Université de Giessen, fera le lundi 22 septembre au laboratoire J.L. Lions un mini-cours de 2h sur les bases de fonction radiales. Ces outils sont fréquement utilisés en approximation multivariée, en particulier en grande dimension, en statistiques (méthodes à noyaux), et parfois dans le traitement de l’image et l’approximation des EDP. Martin Buhmann est un expert reconnu dans ce domaine. Le cours aura lieu de 16:00 à 18:30 en salle 309 (salle de séminaire du LJLL) couloir 15-16, 3ème étage, Jussieu. 
Radial version of the Laplacian of a Gaussian wavelet

Le résumé (en français !)
Les méthodes utilisant les fonctions radiales sont des façons d'approcher une fonction par une combinaison linéaire (finie ou infinie) de translatées d'une unique fonction, appelée fonction noyau. Cette fonction peut avoir, par exemple, la forme d'une exponentielle (noyau de Gauss ou de Poisson). Les coefficients de cette combinaison linéaire étant choisis, par exemple, en fonction des conditions d'interpolation. Beaucoup de propriétés typiques de l'approximation par des noyaux de type fonctions radiales proviennent de la symétrie radiale de ces noyaux. Les avantages de cette méthode liée aux splines à une dimension sont, d'une part sa généralisation naturelle à une dimension quelconque (les fonctions noyaux étant générées à partir d'une fonction d'une variable multidimensionnelle composée avec une norme – lorsque la norme est euclidienne on parle de fonctions radiales) et d'autre part, ses propriétés de convergence très rapide si les fonctions approximées sont assez lisses (souvent en convergence spectrale). De plus, en utilisant un grand choix de fonctions radiales, le problème d'interpolation est bien défini avec une unique solution indépendante de la dimension de l'espace et de la distribution des points d'interpolation. Cette situation optimale serait impossible par exemple dans le cas des polynômes en plusieurs dimensions. Entre autres les noyaux de Gauss, les noyaux multiquadriques, inverse multiquadriques, les noyaux de Poisson, ..., ont cette propriété intéressante qui permet de nombreuses applications. Dans ces deux exposés nous introduirons le concept de fonction radiale, nous présenterons des propriétés de ces fonctions approximantes et nous détaillerons les théorèmes de convergence qui montrent la puissance des méthodes d'approximation utilisant cette idée.

Quelques pistes :
Yafer Abu-Mostafa, Learning from data, introductory machine learning course, Caltech, 2012, lecture 16, Radial Basis Functions


M. D. Buhmann : Radial basis function, Scholarpedia, 2010
M. D. Buhmann : Radial Basis Functions: Theory and Implementations, 2003, Cambridge University Press
J. B. Cherrie, R. K. Beatson, G. N.  Newsam,  Fast evaluation of radial basis functions: methods for generalised multiquadrics in R^n, SIAM Journal on Scientific Computation, 2002
M. D. Buhmann : Radial basis functions, Acta Numerica, 2000
Radial basis function methods are modern ways to approximate multivariate functions, especially in the absence of grid data. They have been known, tested and analysed for several years now and many positive properties have been identi ed. This paper gives a selective but up-to-date survey of several recent developments that explains their usefulness from the theoretical point of view and contributes useful new classes of radial basis function. We consider particularly the new results on convergence rates of interpolation with radial basis functions, as well as some of the various achievements on approximation on spheres, and the e cient numerical computation of interpolants for very large sets of data. Several examples of useful applications are stated at the end of the paper.
Mark J. L. Orr, Introduction to Radial Basis Function Networks, April 1996
D. H. Broomhead,  D. Lowe, Multivariable Functional Interpolation and Adaptive Networks, Complex Systems, 1988